Курс диференціального та інтегрального числення

Зміст
ВСТУП. ДІЙСНІ ЧИСЛА 2
0.1 Множина раціональних чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Попередні зауваження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Упорядкування множини раціональних чисел . . . . . . . . . . . 3
3 Додавання та віднімання раціональних чисел . . . . . . . . . . . . 3
4 Множення та ділення раціональних чисел . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Аксіома Архімедеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Введення ірраціональних чисел. Упорядкування множини
дійсних чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Означення ірраціонального числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7 Упорядкування множини дійсних чисел . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 Допоміжні твердження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9 Запис дійсного числа у вигляді нескінченного десяткового дробу 13
10 Неперервність множини дійсних чисел . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11 Межі числових множин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.3 Арифметичні дії над дійсними числами . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12 Означення суми дійсних чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13 Властивості додавання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14 Означення добутку дійсних чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15 Властивості множення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
16 Висновок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
17 Абсолютні величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.4 Подальші властивості та застосування дійсних чисел . . . . . . . . . 28
18 Існування кореня. Степінь із раціональним показником . . . . . . 28
19 Степінь з будь-яким дійсним показником . . . . . . . . . . . . . . 29
20 Логарифми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
21 Вимірювання відрізків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i
DO NOT PRINT
1 ТЕОРІЯ ГРАНИЦЬ 36
1.1 Варіанта та її границя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
22 Змінна величина, варіанта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
23 Границя варіанти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
24 Нескінченно малі величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
25 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
26 Деякі теореми про варіанту, що має границю . . . . . . . . . . . . 46
27 Нескінченно великі величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.2 Теореми про границі, що полегшують знаходження границь . . . . . 51
28 Граничний перехід у рівності та нерівності . . . . . . . . . . . . . 51
29 Леми про нескінченно малі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
30 Арифметичні дії над змінними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
31 Невизначені вирази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
32 Приклади на знаходження границь . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
33 Теорема Штольца та її застосування . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.3 Монотонна варіанта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
34 Границя монотонної варіанти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
35 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
36 Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
37 Наближене обчислення числа e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
38 Лема про вкладені проміжки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.4 Принцип збіжності. Часткові границі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
39 Принцип збіжності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
40 Часткові послідовності та часткові границі . . . . . . . . . . . . . 87
41 Лема Бользано – Ваярштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
42 Найбільша та найменша границі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2 ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ 95
2.1 Поняття функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
43 Змінна та область її зміни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
44 Функціональна залежність між змінними. Приклади . . . . . . . 96
45 Означення поняття функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
46 Аналітичний спосіб задання функції . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
47 Графік функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
48 Найважливіші класи функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
ii
DO NOT PRINT
49 Поняття оберненої функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
50 Обернені тригонометричні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
51 Композиція функцій. Останні зауваження . . . . . . . . . . . . . . 121
2.2 Границя функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
52 Означення границі функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
53 Зведення до випадку варіанти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
54 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
55 Поширення теорії границь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
56 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
57 Границя монотонної функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
58 Загальна ознака Бользано – Коші . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
59 Найбільша та найменша границі функції . . . . . . . . . . . . . . 143
2.3 Класифікація нескінченно малих і нескінченно великих величин . . 145
60 Порівняння нескінченно малих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
61 Шкала нескінченно малих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
62 Еквівалентні нескінченно малі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
63 Виділення головної частини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
64 Задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
65 Класифікація нескінченно великих . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.4 Неперервність (і розриви) функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
66 Означення неперервності функції в точці . . . . . . . . . . . . . . 156
67 Арифметичні операції над неперервними функціями . . . . . . . 157
68 Приклади неперервних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
69 Однобічна неперервність. Класифікація розривів . . . . . . . . . 160
70 Приклади розривних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
71 Неперервність і розриви монотонної функції . . . . . . . . . . . . 165
72 Неперервність елементарних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . 166
73 Композиція неперервних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
74 Розв’язування одного функціонального рівняння . . . . . . . . . . 167
75 Функціональна характеристика показникової, логарифмічної та
степеневої функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
76 Функціональна характеристика тригонометричного та
гіперболічного косинусів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
77 Використання неперервності функцій для обчислення границь . 175
78 Степенево-показникові вирази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
iii
DO NOT PRINT
79 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2.5 Властивості неперервних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
80 Теорема про набуття функцією значення нуль . . . . . . . . . . . 182
81 Застосування до розв’язування рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . 184
82 Теорема про проміжне значення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
83 Існування оберненої функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
84 Теорема про обмеженість функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
85 Найбільше та найменше значення функції . . . . . . . . . . . . . . 190
86 Поняття рівномірної неперервності . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
87 Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
88 Лема Бореля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
89 Нові доведення основних теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3 ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ 201
3.1 Похідна та її обчислення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
90 Задача про обчислення швидкості рухомої точки . . . . . . . . . 201
91 Задача про проведення дотичної до кривої . . . . . . . . . . . . . 202
92 Означення похідної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
93 Приклади обчислення похідних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
94 Похідна оберненої функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
95 Формули для похідних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
96 Формула для приросту функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
97 Найпростіші правила обчислення похідних . . . . . . . . . . . . . 216
98 Похідна композиції функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
99 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
100 Однобічні похідні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
101 Нескінченні похідні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
102 Подальші приклади особливих випадків . . . . . . . . . . . . . . . 230
3.2 Диференціал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
103 Означення диференціала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
104 Зв’язок між диференційовністю та існуванням похідної . . . . . . 233
105 Основні формули та правила диференціювання . . . . . . . . . . 235
106 Інваріантність форми диференціала . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
107 Диференціали як джерело наближених формул . . . . . . . . . . 239
108 Застосування диференціалів в оцінюванні похибок . . . . . . . . . 242
iv
3.3 Основні теореми диференціального числення DO NOT PRINT
. . . . . . . . . . . . . . 245
109 Теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
110 Теорема Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
111 Теорема Ролля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
112 Формула Лаґранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
113 Границя похідної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
114 Формула Коші . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3.4 Похідні та диференціали вищих порядків . . . . . . . . . . . . . . . . 254
115 Означення похідних вищих порядків . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
116 Загальні формули для похідних будь-якого порядку . . . . . . . . 255
117 Формула Ляйбніца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
118 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
119 Диференціали вищих порядків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
120 Порушення інваріантності форми для диференціалів
вищих порядків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
121 Параметричне диференціювання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
122 Скінченні різниці . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.5 Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
123 Формула Тейлора для многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
124 Розкладання довільної функції; додатковий член у формі Пеано 273
125 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
126 Інші форми додаткового члена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
127 Наближені формули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
3.6 Інтерполяція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
128 Найпростіша задача інтерполяції. Формула Лаґранжа . . . . . . 290
129 Додатковий член формули Лаґранжа . . . . . . . . . . . . . . . . 291
130 Інтерполяція з кратними вузлами. Формула Ерміта . . . . . . . . 292
4 ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОХІДНИХ 295
4.1 Вивчення ходу зміни функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
131 Умова сталості функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
132 Умова монотонності функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
133 Доведення нерівностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
134 Максимуми та мінімуми; необхідні умови . . . . . . . . . . . . . . 305
135 Достатні умови. Перше правило . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
v
DO NOT PRINT
136 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
137 Друге правило . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
138 Використання похідних вищих порядків . . . . . . . . . . . . . . . 319
139 Знаходження найбільших і найменших значень . . . . . . . . . . . 321
140 Задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
4.2 Опуклі (й увігнуті) функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
141 Означення опуклої (увігнутої) функції . . . . . . . . . . . . . . . . 330
142 Найпростіші твердження про опуклі функції . . . . . . . . . . . . 331
143 Умови опуклості функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
144 Нерівність Єнсена та її застосування . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
145 Точки перегину . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
4.3 Побудова графіків функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
146 Формулювання задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
147 Схема побудови графіка. Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
148 Нескінченні розриви, нескінченний проміжок. Асимптоти . . . . 345
149 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
4.4 Розкриття невизначеностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
150 Невизначеність виду 0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
151 Невизначеність виду ∞
∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
152 Інші види невизначеностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.5 Наближене розв’язування рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
153 Вступні зауваження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
154 Правило пропорційних частин (метод хорд) . . . . . . . . . . . . . 367
155 Правило Ньютена (метод дотичних) . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
156 Приклади та вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
157 Комбінований метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
158 Приклади та вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
5 ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ 389
5.1 Основні поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
159 Функціональна залежність між змінними. Приклади . . . . . . . 389
160 Функції двох змінних і області їх визначення . . . . . . . . . . . . 390
161 Арифметичний n-вимірний простір . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
162 Приклади областей у n-вимірному просторі . . . . . . . . . . . . . 399
vi
DO NOT PRINT
163 Загальне означення відкритої та замкненої області . . . . . . . . 402
164 Функції
n змінних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
165 Границя функції кількох змінних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
166 Зведення до випадку варіанти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
167 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
168 Повторні границі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
5.2 Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
169 Неперервність і розриви функцій кількох змінних . . . . . . . . . 416
170 Операції над неперервними функціями . . . . . . . . . . . . . . . 418
171 Функції, неперервні в області. Теореми Бользано – Коші . . . . . 419
172 Лема Бользано – Ваярштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
173 Теореми Ваярштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
174 Рівномірна неперервність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
175 Лема Бореля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
176 Нові доведення основних теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
5.3 Похідні та диференціали функцій кількох змінних . . . . . . . . . . . 430
177 Частинні похідні та частинні диференціали . . . . . . . . . . . . . 430
178 Повний приріст функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
179 Повний диференціал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
180 Геометрична інтерпретація для функції двох змінних . . . . . . . 438
181 Похідні композиції функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
182 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
183 Формула скінченних приростів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
184 Похідна за заданим напрямком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
185 Інваріантність форми (першого) диференціала . . . . . . . . . . . 452
186 Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях
. 454
187 Однорідні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
188 Формула Ойлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
5.4 Похідні та диференціали вищих порядків . . . . . . . . . . . . . . . . 461
189 Похідні вищих порядків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
190 Теорема про змішані похідні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
191 Узагальнення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
192 Похідні вищих порядків композиції функцій . . . . . . . . . . . . 468
193 Диференціали вищих порядків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
vii
NOT PRINT
194 Диференціали композиції функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
195 Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
5.5 Екстремуми, найбільші та найменші значення . . . . . . . . . . . . . 477
196 Екстремуми функції кількох змінних. Необхідні умови . . . . . . 477
197 Достатні умови (для функції двох змінних) . . . . . . . . . . . . . 479
198 Достатні умови (загальний випадок) . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
199 Умови відсутності екстремуму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
200 Найбільше і найменше значення функцій. Приклади . . . . . . . 487
201 Задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
6 ФУНКЦІОНАЛЬНІ ВИЗНАЧНИКИ; ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ 504
6.1 Формальні властивості функціональних визначників . . . . . . . . . 504
202 Означення функціональних визначників (якобіанів) . . . . . . . . 504
203 Множення якобіанів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
204 Множення функціональних матриць (матриць Якобі) . . . . . . . 507
6.2 Неявні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
205 Поняття неявної функції від однієї змінної . . . . . . . . . . . . . 510
206 Існування неявної функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
207 Диференційовність неявної функції . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
208 Неявні функції кількох змінних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
209 Обчислення похідних неявних функцій . . . . . . . . . . . . . . . 523
210 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
6.3 Деякі застосування теорії неявних функцій . . . . . . . . . . . . . . . 533
211 Відносні екстремуми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
212 Метод невизначених множників Лаґранжа . . . . . . . . . . . . . 535
213 Достатні умови для відносного екстремуму . . . . . . . . . . . . . 537
214 Приклади та задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
215 Поняття незалежності функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
216 Ранг матриці Якобі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
6.4 Заміна змінних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
217 Функції однієї змінної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
218 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
219 Функції кількох змінних. Заміна незалежних змінних . . . . . . . 556
220 Метод обчислення диференціалів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
221 Загальний випадок заміни змінних . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
viii
DO NOT PRINT
222 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
7 ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
ЧИСЛЕННЯ ДО ГЕОМЕТРІЇ 574
7.1 Аналітичне задання кривих і поверхонь . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
223 Криві на площині (у прямокутних координатах) . . . . . . . . . . 574
224 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
225 Криві механічного походження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
226 Криві на площині (у полярних координатах). Приклади . . . . . 588
227 Поверхні та криві в просторі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
228 Параметрично задані криві . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
229 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
7.2 Дотична та дотична площина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
230 Дотична до плоскої кривої в прямокутних координатах . . . . . . 605
231 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
232 Дотична в полярних координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
233 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
234 Дотична до кривої в просторі. Дотична площина до поверхні . . 614
235 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
236 Особливі точки плоских кривих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
237 Випадок параметричного задання кривої . . . . . . . . . . . . . . 624
7.3 Дотик між кривими . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
238 Обвідна сімейства кривих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
239 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
240 Характеристичні точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
241 Порядок дотику двох кривих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
242 Випадок неявного задання однієї з кривих . . . . . . . . . . . . . 640
243 Стична крива . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
244 Інший підхід до стичних кривих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
7.4 Довжина плоскої кривої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
245 Леми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
246 Напрямок на кривій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
247 Довжина кривої. Адитивність довжини дуги . . . . . . . . . . . . 648
248 Достатні умови спрямлюваності. Диференціал дуги . . . . . . . . 651
249 Дуга в ролі параметра. Додатний напрямок дотичної . . . . . . . 655
ix
DO NOT PRINT
7.5 Кривизна плоскої кривої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
250 Поняття кривизни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
251 Коло кривизни та радіус кривизни . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
252 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
253 Координати центра кривизни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
254 Означення еволюти й евольвенти; знаходження еволюти . . . . . 672
255 Властивості еволют і евольвент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
256 Знаходження евольвент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
7.6 Додаток. Задача поширення функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
257 Випадок функції однієї змінної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
258 Формулювання задачі для двовимірного випадку . . . . . . . . . 684
259 Леми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
260 Основна теорема про поширення функції . . . . . . . . . . . . . . 689
261 Узагальнення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
262 Останні зауваження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
8 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЯ (НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ) 697
8.1 Невизначений інтеграл і найпростіші способи його обчислення . . . . 697
263 Поняття первісної функції (та невизначеного інтеграла) . . . . . 697
264 Інтеграл і задача про знаходження площі . . . . . . . . . . . . . . 700
265 Таблиця основних інтегралів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
266 Найпростіші правила інтегрування . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
267 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
268 Інтегрування методом заміни змінної . . . . . . . . . . . . . . . . 711
269 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
270 Інтегрування частинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
271 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
8.2 Інтегрування раціональних виразів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
272 Формулювання задачі інтегрування в скінченному вигляді . . . . 726
273 Прості дроби та їх інтегрування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
274 Розкладання правильних дробів на прості дроби . . . . . . . . . . 728
275 Знаходження коефіцієнтів. Інтегрування правильних дробів . . . 732
276 Виділення раціональної частини інтеграла . . . . . . . . . . . . . 734
277 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 x
DO NOT PRINT
8.3 Інтегрування деяких виразів, що містять радикали . . . . . . . . . . 741
278 Інтегрування виразів вигляду R

x, m
r
αx + β
γx + δ

. Приклади . . . 741
279 Інтегрування біноміальних диференціалів. Приклади . . . . . . . 742
280 Формули зведення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
281 Інтегрування виразів вигляду R

x, √
ax2 + bx + c


.
Підстановки Ойлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
282 Геометричне трактування підстановок Ойлера . . . . . . . . . . . 750
283 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
284 Інші способи обчислення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
285 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
8.4 Інтегрування виразів, що містять тригонометричні і
показникову функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
286 Інтегрування диференціалів R(sin x, cos x) dx . . . . . . . . . . . . 767
287 Інтегрування виразів sinν x · cosµ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
288 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
289 Огляд інших випадків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
8.5 Еліптичні інтеграли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
290 Загальні зауваження та означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
291 Допоміжні перетворення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
292 Зведення до канонічної форми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
293 Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду . . . . . . . . . . . . . . 784
9 ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ 788
9.1 Означення та умови існування визначеного інтеграла . . . . . . . . . 788
294 Інший підхід до задачі про площу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788
295 Означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790
296 Суми Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
297 Умова існування інтеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
298 Класи інтегровних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
299 Властивості інтегровних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
300 Приклади та додатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
301 Нижній та верхній інтеграли як границі . . . . . . . . . . . . . . . 801
x
DO NOT PRINT
9.2 Властивості визначених інтегралів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
302 Інтеграл на орієнтованому проміжку . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
303 Властивості, що виражаються рівностями . . . . . . . . . . . . . . 805
304 Властивості, що виражаються нерівностями . . . . . . . . . . . . 806
305 Визначений інтеграл як функція верхньої межі . . . . . . . . . . 811
306 Друга теорема про середнє значення . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
9.3 Обчислення і перетворення визначених інтегралів . . . . . . . . . . . 817
307 Обчислення за допомогою інтегральних сум . . . . . . . . . . . . 817
308 Основна формула інтегрального числення . . . . . . . . . . . . . . 821
309 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823
310 Інший спосіб отримання основної формули . . . . . . . . . . . . . 827
311 Формули зведення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828
312 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829
313 Формула заміни змінної у визначеному інтегралі . . . . . . . . . . 832
314 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
315 Формула Ґаусса. Перетворення Лендена . . . . . . . . . . . . . . . 841
316 Інший спосіб отримання формули заміни змінної . . . . . . . . . . 844
9.4 Деякі застосування визначених інтегралів . . . . . . . . . . . . . . . . 846
317 Формула Волліса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846
318 Формула Тейлора з додатковим членом . . . . . . . . . . . . . . . 847
319 Трансцендентність числа e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
320 Многочлени Льожондра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850
321 Інтегральні нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853
9.5 Наближене обчислення інтегралів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857
322 Формулювання задачі. Формули прямокутників та трапецій . . . 857
323 Параболічна інтерполяція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860
324 Поділ проміжку інтегрування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862
325 Додатковий член формули прямокутників . . . . . . . . . . . . . 864
326 Додатковий член формули трапецій . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
327 Додатковий член формули Сімпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . 867
328 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869
xii
DO NOT PRINT
10 ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ ДО
ГЕОМЕТРІЇ, МЕХАНІКИ ТА ФІЗИКИ 877
10.1 Довжина кривої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877
329 Обчислення довжини кривої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877
330 Інший підхід до означення поняття довжини кривої та
її обчислення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879
331 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882
332 Натуральне рівняння плоскої кривої . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
333 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
334 Довжина дуги просторової кривої . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
10.2 Площі та об’єми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
335 Означення поняття площі. Властивість адитивності . . . . . . . . 899
336 Площа як границя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901
337 Класи квадровних областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
338 Обчислення площі за допомогою інтеграла . . . . . . . . . . . . . 906
339 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909
340 Означення поняття об’єму. Його властивості . . . . . . . . . . . . 919
341 Класи тіл, що мають об’єм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
342 Обчислення об’єму за допомогою інтеграла . . . . . . . . . . . . . 922
343 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
344 Площа поверхні обертання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934
345 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
346 Площа циліндричної поверхні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940
347 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
10.3 Обчислення механічних і фізичних величин . . . . . . . . . . . . . . . 946
348 Схема застосування визначеного інтеграла . . . . . . . . . . . . . 946
349 Знаходження статичних моментів і центра мас кривої . . . . . . . 949
350 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
351 Знаходження статичних моментів і центра мас плоскої фігури . . 953
352 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955
353 Механічна робота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
354 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958
355 Робота сили тертя у плоскій п’яті . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
356 Задачі на підсумовування нескінченно малих елементів . . . . . . 963
xiii
DO NOT PRINT
10.4 Найпростіші диференціальні рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
357 Основні поняття. Рівняння першого порядку . . . . . . . . . . . . 971
358 Рівняння першого степеня відносно похідної.
Відокремлення змінних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972
359 Задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975
360 Зауваження щодо складання диференціальних рівнянь . . . . . . 981
361 Задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
11 НЕСКІНЧЕННІ РЯДИ ЗІ СТАЛИМИ ЧЛЕНАМИ 988
11.1 Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988
362 Основні поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988
363 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989
364 Основні теореми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991
11.2 Збіжність додатних рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995
365 Умова збіжності додатного ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995
366 Теореми порівняння рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997
367 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998
368 Ознаки Коші та д’Аламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
369 Ознака Раабе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006
370 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
371 Ознака Куммара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
372 Ознака Ґаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
373 Інтегральна ознака Маклаурена – Коші . . . . . . . . . . . . . . . 1016
374 Ознака Єрмакова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021
375 Додатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
11.3 Збіжність довільних рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032
376 Загальна умова збіжності ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032
377 Абсолютна збіжність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033
378 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
379 Степеневий ряд, його проміжок збіжності . . . . . . . . . . . . . . 1036
380 Запис радіуса збіжності за допомогою коефіцієнтів . . . . . . . . 1038
381 Знакозмінні ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
382 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
383 Перетворення Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
384 Ознаки Абеля та Діріхлє . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
xiv
DO NOT PRINT
385 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
11.4 Властивості збіжних рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053
386 Сполучна властивість . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053
387 Комутативна властивість абсолютно збіжних рядів . . . . . . . . 1055
388 Випадок неабсолютно збіжних рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056
389 Множення рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
390 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
391 Загальна теорема з теорії границь . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
392 Подальші теореми про множення рядів . . . . . . . . . . . . . . . 1069
11.5 Повторні та подвійні ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
393 Повторні ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
394 Подвійні ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074
395 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080
396 Степеневий ряд із двома змінними; область збіжності . . . . . . . 1089
397 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092
398 Кратні ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094
11.6 Нескінченні добутки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096
399 Основні поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096
400 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097
401 Основні теореми. Зв’язок із рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099
402 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102
11.7 Розкладання елементарних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111
403 Розкладання функції в степеневий ряд; ряд Тейлора . . . . . . . 1111
404 Розкладання в ряд показникової, основних
тригонометричних функцій та ін. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113
405 Логарифмічний ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115
406 Формула Стьорліна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116
407 Біноміальний ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119
408 Розкладання синуса та косинуса в нескінченні добутки . . . . . . 1121
11.8 Наближені обчислення за допомогою рядів. Перетворення рядів . . . 1126
409 Загальні зауваження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126
410 Обчислення числа
π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127
411 Обчислення логарифмів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129
412 Обчислення коренів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132
xv
DO NOT PRINT
413 Перетворення Ойлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134
414 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136
415 Перетворення Куммара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139
416 Перетворення Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143
11.9 Підсумовування розбіжних рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146
417 Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146
418 Метод степеневих рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147
419 Теорема Таубера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150
420 Метод середніх арифметичних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153
421 Зв’язок між методами Пуассона – Абеля і Чезаро . . . . . . . . . 1155
422 Теорема Харді – Е. Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157
423 Застосування узагальненого підсумовування до множення рядів 1160
424 Інші методи узагальненого підсумовування рядів . . . . . . . . . 1162
425 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167
426 Загальний клас лінійних регулярних методів підсумовування . . 1171
12 ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА РЯДИ 1175
12.1 Рівномірна збіжність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175
427 Вступні зауваження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175
428 Рівномірна і нерівномірна збіжності . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177
429 Умова рівномірної збіжності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182
430 Ознаки рівномірної збіжності рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184
12.2 Функціональні властивості суми ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188
431 Неперервність суми ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188
432 Зауваження про квазірівномірну збіжність . . . . . . . . . . . . . 1190
433 Почленний перехід до границі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192
434 Почленне інтегрування рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194
435 Почленне диференціювання рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197
436 Зв’язок з послідовностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1200
437 Неперервність суми степеневого ряду . . . . . . . . . . . . . . . . 1202
438 Інтегрування і диференціювання степеневих рядів . . . . . . . . . 1206
12.3 Застосування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
439 Приклади на неперервність суми ряду і на почленний
перехід до границі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
440 Приклади на почленне інтегрування рядів . . . . . . . . . . . . . 1216
xvi
DO NOT PRINT
441 Приклади на почленне диференціювання рядів . . . . . . . . . . . 1228
442 Метод послідовних наближень у теорії неявних функцій . . . . . 1236
443 Аналітичне означення тригонометричних функцій . . . . . . . . . 1240
444 Приклад неперервної функції без похідної . . . . . . . . . . . . . 1243
12.4 Додаткові відомості про степеневі ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246
445 Дії над степеневими рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246
446 Підстановка ряду в ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249
447 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252
448 Ділення степеневих рядів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258
449 Числа Я. Бернуллі та розклади, в яких вони трапляються . . . . 1260
450 Розв’язування рівнянь за допомогою рядів . . . . . . . . . . . . . 1265
451 Обернений степеневий ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269
452 Ряд Лаґранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272
12.5 Елементарні функції комплексної змінної . . . . . . . . . . . . . . . . 1277
453 Комплексні числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277
454 Комплексна варіанта та її границя . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280
455 Функції комплексної змінної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283
456 Степеневі ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285
457 Показникова функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289
458 Логарифмічна функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291
459 Тригонометричні функції та обернені до них . . . . . . . . . . . . 1294
460 Степенева функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298
461 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299
12.6 Ряди, що обгортають. Асимптотичні ряди.
Формула Ойлера – Маклаурена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305
462 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305
463 Означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308
464 Основні властивості асимптотичних розкладів . . . . . . . . . . . 1311
465 Виведення формули Ойлера – Маклаурена . . . . . . . . . . . . . 1315
466 Дослідження додаткового члена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318
467 Приклади обчислень за допомогою формули Ойлера – Маклаурена 1320
468 Інший вигляд формули Ойлера – Маклаурена . . . . . . . . . . . 1324
469 Формула і ряд Стьорліна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327
xvii
DO NOT PRINT 13 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ 1330
13.1 Невласні інтеграли з нескінченними межами . . . . . . . . . . . . . . 1330
470 Означення інтегралів з нескінченними межами . . . . . . . . . . . 1330
471 Застосування основної формули інтегрального числення . . . . . 1332
472 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333
473 Аналогія з рядами. Найпростіші теореми . . . . . . . . . . . . . . 1337
474 Збіжність інтеграла у разі додатної функції . . . . . . . . . . . . 1338
475 Збіжність інтеграла в загальному випадку . . . . . . . . . . . . . 1340
476 Ознаки Абеля і Діріхлє . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342
477 Зведення невласного інтеграла до нескінченного ряду . . . . . . . 1346
478 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348
13.2 Невласні інтеграли від необмежених функцій . . . . . . . . . . . . . . 1358
479 Означення інтегралів від необмежених функцій . . . . . . . . . . 1358
480 Зауваження щодо особливих точок . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361
481 Застосування основної формули інтегрального числення. Приклади 1363
482 Умови й ознаки існування інтеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365
483 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368
484 Головні значення невласних інтегралів . . . . . . . . . . . . . . . . 1373
485 Зауваження про узагальнені значення розбіжних інтегралів . . . 1378
13.3 Властивості та перетворення невласних інтегралів . . . . . . . . . . . 1381
486 Найпростіші властивості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381
487 Теореми про середнє значення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383
488 Інтегрування частинами невласних інтегралів . . . . . . . . . . . 1385
489 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385
490 Заміна змінних у невласних інтегралах . . . . . . . . . . . . . . . 1388
491 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389
13.4 Особливі способи обчислення невласних інтегралів . . . . . . . . . . . 1396
492 Деякі чудові інтеграли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396
493 Обчислення невласних інтегралів за допомогою інтегральних сум.
Інтеграли зі скінченними межами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399
494 Інтеграли з нескінченними межами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402
495 Інтеграли Фрулляні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406
496 Інтеграли з нескінченними межами від раціональних функцій . . 1408
497 Змішані приклади та вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414
xviii
NOT PRINT
13.5 Наближене обчислення невласних інтегралів . . . . . . . . . . . . . . 1429
498 Інтеграли зі скінченними межами; виділення особливостей . . . . 1429
499 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1430
500 Зауваження щодо наближеного обчислення власних інтегралів
. 1434
501 Наближене обчислення невласних інтегралів з нескінченною межею 1435
502 Використання асимптотичних розкладів . . . . . . . . . . . . . . . 1438
14 ІНТЕГРАЛИ, ЩО ЗАЛЕЖАТЬ ВІД ПАРАМЕТРА 1443
14.1 Елементарна теорія . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443
503 Формулювання задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443
504 Рівномірне прямування до граничної функції . . . . . . . . . . . . 1443
505 Переставляння двох граничних переходів . . . . . . . . . . . . . . 1446
506 Граничний перехід під знаком інтеграла . . . . . . . . . . . . . . . 1448
507 Диференціювання під знаком інтеграла . . . . . . . . . . . . . . . 1450
508 Інтегрування під знаком інтеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453
509 Випадок, коли межі інтеграла також залежать від параметра . . 1455
510 Введення множника, що залежить лише від
x . . . . . . . . . . . 1457
511 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459
512 Доведення Ґаусса основної теореми алгебри . . . . . . . . . . . . . 1471
14.2 Рівномірна збіжність інтегралів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474
513 Означення рівномірної збіжності інтегралів . . . . . . . . . . . . . 1474
514 Умова рівномірної збіжності. Зв’язок із рядами . . . . . . . . . . 1475
515 Достатні ознаки рівномірної збіжності . . . . . . . . . . . . . . . . 1476
516 Інший випадок рівномірної збіжності . . . . . . . . . . . . . . . . 1479
517 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481
14.3 Використання рівномірної збіжності інтегралів . . . . . . . . . . . . . 1487
518 Граничний перехід під знаком інтеграла . . . . . . . . . . . . . . . 1487
519 Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1490
520 Неперервність і диференційовність інтеграла за параметром . . . 1505
521 Інтегрування інтеграла за параметром . . . . . . . . . . . . . . . . 1508
522 Застосування для обчислення деяких інтегралів . . . . . . . . . . 1511
523 Приклади диференціювання під знаком інтеграла . . . . . . . . . 1517
524 Приклади інтегрування під знаком інтеграла . . . . . . . . . . . . 1528
xix
DO NOT PRINT
14.4 Додаток . . . . . .