ЗМІСТ
Вступне слово ...................................................З
Частина!. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ ЕЛЕМЕНТАРНИМИ СПОСОБАМИ ...............................................4
Розділі ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЧИСЛО, ЗМІННУ ВЕЛИЧИНУ ТА ФУНКЦІЇ .............................................4
§ 1. Число. Змінна величина. Функція.............................4
1. 1. Дійсні числа, L 2. Сталі та змінні величини 1. 3. Поняття функції. 1. 4. Способи задания функції. Табличний спосіб. Графічний спосіб. Аналітичний спосіб. Словесний спосіб. Напівграфічний спосіб.
§ 2. Класифікація функцій ......................................12
2. 1. Складені функції. 2. 2. Обернені функції. 2. 3. Елементарні функції. 2.
4. Однозначні та багатозначні функції. 2. 5. Обмежені та необмежені функції.
2. 6. Монотонні функції. 2. 7. Парні та непарні функції. 2. 8. Періодичні функції
§ 3. Границя функції. Неперервність функції.....................25
3. 1. Границя числової послідовності. 3. 2. Границя функції. 3. 3. Неперервність функції.
Розділ 2. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ДЛЯ ПОБУДОВИ ГРАФІКІВ........................................................35
§ 1. Системи координат........................................ 35
1. 1. Декартова система координат. 1. 2. Полярна система координат. L 3. Перетворення декартової системи координат
§ 2. Дослідження функції в декартовій системі координат ... 38 2. L Область визначення функції. 2. 2. Область значень функцій. Графік обмеженої функції. 2. 3. Парність та непарність функції. Особливість графіка парної та непарної функцій. 2. 4. Види симетрії. 2. 5. Графік оберненої функції. 2. 6. Періодичність функції. 2. 7. Нулі та знаки функції. 2. 8. Монотонність функції. 2. 9. Опуклість функції. 2. 10. Характерні точки графіка функції. 2. 11. Порядок дослідження функції та схема побудови її графіка.
577
Точки перетину графіка з координатними осями. Граничні значення
функції. Асимптоти графіка функції.
Р о з д і л 3. ГРАФІКИ ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ ..............................................71
§ 1. Степенева функція ...............................71
§ 2. Показникова функція .............................84
§ 3. Логарифмічна функція ........................'. ,. 86
§ 4. Тригонометричні функції..........................86
§ 5. Обернені тригонометричні функції.................88
Р о з д і л 4. МЕТОД ПОБУДОВИ ГРАФІКІВ ЗА ДОПОМО-
ГОЮ АРИФМЕТИЧНИХ ДІЙ. ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ У ДЕКАРТОВІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ .........................92
§ 1. Арифметичні дії з графіками......................92
1. 1. Додавання та віднімання графіків, і. 2. Множення та ділення графіків
§ 2. Метод побудови графіків за допомогою найпростіших перетворень ...........................................108
2. 1. Перетворення, які не змінюють масштабу. Побудова графіків функцій у-f(x), ^f(-x), ^-f(-x) за графіком функції yf(x). Паралельне перенесення (зсув) вздовж осі абсцис. Паралельне перенесення (зсув) вздовж осі ординат. 2. 2. Перетворення, що змінюють масштаб. Розтяг або стиск вздовж осі абсцис. Розтяг або стиск вздовж осі ординат. Побудова графіка функції y^mf(kx+a)+b. 2. 3. Побудова графіків функцій, аналітичний вираз яких містить знак модуля. Побудова графіка функції у^). Побудова графіка функції у | Дх>. Побудова графіка функції у| ЛІ -М )•!• Побудова графіка функції Ы-Дх). Побудова графіка функції | у | Н / (х) |. Побудова графіка функції у = 1 (ІДХ) І ± /(х))
Р о з д і л 5. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ЕЛЕМЕНТАРНИХ
ФУНКЦІЙ
......................................................135
§ 1. Побудова графіків складених функцій ...............................
1. 1. Побудова графіків функцій у“(/(х))г, де r EQ. 1. 2. Побудова графіка
135
функцій у
1 f(x)
за графіком функції у - f (х). 1. 3. Побудова графіка
функції у - аР^, де ^а - 1|>0. 1. 4. Побудова графіка функції ylog^xj, де ф - 1|>0. 1. 5. Побудова графіків функцій увіпДх), ycos^x). 1. 6. Побудова
графіків функцій у tg/fх), yctg f(х).
1 . 7. Побудрва графіків функцій yar.csin f(x), yarccos/fx/ 1. 8. Побудова графіків функцій yarctg f(x), yarcctg f(x)
§ 2. Графіки алгебраїчних функцій ..........................
160
2. 1. Графіки цілих раціональних функцій. Лінійна функція. Квадратна функція (або квадратний тричлен). Кубічна функція (або многочлен третього степеня). Біквадратна функція. Многочлен п-го степеня. Функція вигляду у “ (ах? + Ьх+с)п, де п Є Zq. 2. 2. Графіки дробово-
578
раціональних функцій. Дробово-лінійна функція. Дробово-раціональна функція. 2. 3. Графіки ірраціональних функцій. Функція вигляду
у-±у/ах + b . Функція вигляду у = ± ^а^ + Ьх+ с
§ 3. Графіки трансцендентних функцій ...................183
3. 1. Гіперболічні функції. 3. 2. Обернені гіперболічні функції
Р о з д і л 6. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ПАРАМЕТРИЧНО ЗАДА-НИХ ФУНКЦІЙ ............................................190
§ 1. Дослідження функцій, заданих параметричними рівняннями .............................................190
§ 2. Метод виключення параметра t ......................196
§ 3. Метод знаходження точок перетину кривої x=<p(t), y^^t) з прямою у ж kx............................................198
Р о з д і л 7. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ В ПОЛЯРНІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ ...............................203
§ 1. Дослідження функцій в полярній системі координат . . . 203
§ 2. Побудова графіків функцій в полярній системі координат . . 206
2. 1. Побудова графіків кривих p-а, p—asinp, p-acosp, p-acos (ф-ф0). 2. 2. Побудова графіків кривих p—osin np, p—acosnp (nEN, п>1). 2. 3. Побудова графіків кривих р"а(1 ± sinp)p *"0(1 ± cosp). 2. 4. Побудова графіків кривих р"о(1 ± sin п р), р^а (1 ± cos п р) (пЕ N, п >1). 2. 5. Побудова графіків кривих p=atgp, p=octgp. 2. 6. Побудова графіків кривих p“atg п р, p-actg пр (nEN, л>1). 2. 7. Побудова графіків кривих р^а(1 ± tgp), р^а(1 ± ctgp). 2. 8. Побудова графіків кривих р—а(1 ± tg лр ), р^а(1 ± ctg пр) (nEN, л>1). 2. 9. Побудова графіків кривих р = b ± asinp, p^b ± acosp (b^a). 2. 10. Побудова графіків кривих p—b ± asin np, p—b ± acos n р (a*b, nEN, п>1). 2. 11. Графіки кривих p^b ± atg np , p—b ± cos пр , (b^a, nEN, п>1). 2. 12. Побудова графіків кривих p-а sin2 п р, p-а cos2 np (nEN). 2. 13. Побудова графіків кривих р-а sin3 п р, р—а cos3 п р (nEN). 2. 14. Побудова графіків кривих р—а tg2 п р, р—а ctg2 п p(nEN, л>1). 2. 15. Побудова графіків кривих p“atg3 п р, р- actg3 п р (nEN, п>1).
р Р Р Р
Графіки кривих р “asin —р,р = acos—p, р = atg—р, р = actg—р, q q q q
p = a(l * sin^-p) , p = a (l ± cos^p) , p - a(l ± t^p), p = a(l ± ctg^p), 'K q ' q ' q q
p = asin n^p, p = a^p, p = atgn^p, p = actg n^~p, p,q,nE N. q q q q
Побудова графіків кривих p = —----------, p = —---- (n,kE N).
sin np cos* np
§ 3* Перетворення графіків у полярній системі координат. . . . 260
Р о з д і л & ПОБУДОВА ГРАФІКІВ НЕЯВНО ЗАДАНИХ ФУНКЦІЙ.............................................267
§ L Дослідження неявно заданих функцій..............267
579
§ 2. Побудова графіків неявно заданих функцій.............268
2. і. Побудова графіка за допомогою зведення неявно заданої функції до функції у явному вигляді. 2. 2. Побудова графіків за допомогою способу «лінійного сполучення*. 2. 3. Побудова графіків способом «клітинок*
§ 3. Дослідження кривих, заданих алгебраїчним рівнянням другого степеня...........................................278
§ 4. Дослідження кривих, заданих алгебраїчним рівнянням третього степеня .........................................286
4. 1. Гіперболічна гіпербола. 4. 2. Дефективна гіпербола. 4. 3. Параболічна гіпербола. 4. 4. Гіперболізми конічних перерізів. 4. 5. Тризубець (параболізм гіперболи). 4. 6. Розбіжна парабола. 4. 7. Кубічна парабола.
§ 5. Графіки неявно заданих аналітичних виразів, які містять знак модуля ..............................................308
§ 6. Приклади графіків неявно заданих функцій, які зручно будувати в полярній системі координат.......................309
Р о з д і л 9. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ СКЛАДНІШИХ ФУНКЦІЙ ..................................................310
§ 1. Функція, задана кількома аналітичними виразами .... 310
§ 2. Функція у » sign f(x), у = /(sign х) ................313
§ 3. Побудова графіків функцій, заданих деяким рекурентним співвідношенням ..........................................316
§ 4. Побудова графіків функцій заданих у вигляді границь • . 317
§ 5. Побудова графіків функцій вигляду y[f(x)J ...........320
§ 6. Побудова графіків функцій вигляду y=f([x]) 323
§ 7. Побудова графіків функцій вигляду y={f(x)} 323
§ 8. Побудова графіків функцій вигляду y=f({x}) 328
Частина П. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОХІДНОЇ. ГРАФІКИ СПЕЦІАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ , . 329 Розділі. ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ, ЇХ ЗАСТОСУ-
ВАННЯ ДО ПОБУДОВИ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ........................329
§ 1. Похідна функції однієї змінної. Властивості. Таблиця похідних ................................................ 329
§ 2. Диференціал функції однієї змінної ..................333
§ 3. Основні теореми диференціального числення ...........334
§ 4. Дослідження функції за допомогою похідних............336
4. 1. Умова сталості функцій. 4. 2. Умова монотонності функції. 4. 3. Максимум та мінімум функції. 4. 4. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної. 4. 5. Дослідження функції на екстремум за допомогою формули Тейлора. 4. 6. Найбільше та найменше значення функції на відрізку. 4. 7. Опуклість кривої. Точки перегину
§ 5. Побудова графіків функцій за допомогою похідних . . . 342
580
§ 6. Побудова графіків функцій у=Г(х) і y=f"(x) за графіком
функції y^f(x) ............................................343
§ 7. Графічне диференціювання ............................345
§ 8. Графічне інтегрування ...............................346
§ 9. Правило Бернуллі—Лопіталя ...........................348
§ 10. Наближене обчислення коренів рівняння............. . 351
10. 1. Метод хорд. 10. 2. Метод дотичних (спосіб) Ньютона
Р о з д і л 2. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ УСІХ ТИПІВ ФУНКЦІЙ ...................................................... 354
§ 1. Побудова графіків функцій y=f(x) у декартовій системі ко-
ординат
§ 2. Побудова графіків параметрично заданих функцій .... 398
2. 1. Дослідження функцій, заданих параметрично, за допомогою похідних.
2.2. Побудова графіків параметрично заданих функцій.
§ 3. Побудова графіків неявно заданих функцій ......................393
§ 4. Графіки функцій у полярній системі координат ..... 397
Р о з д і л 3. ГРАФІКИ ДЕЯКИХ ЧУДОВИХ КРИВИХ .... 400
§ 1. Алгебраїчні криві ..............................................400
§ 2. Криві другого порядку .........................................402
2. 1. Коло. 2. 2. Еліпс. 2. 3. Гіпербола. 2. 4. Парабола
§ 3. Криві третього порядку ........................................408
3. 1. Декартів лист. 3. 2. Цисоїда Діокла. 3. 3. Строфоїда. 3. 4. Офіуріда.
3. 5. Трисектриса Маклорена. З, 6. Кубика Чірнгаузена. 3. 7. Верзієра Лньєзі.
3. 8. Напівкубічна парабола (парабола Нейля) 580.
§ 4. Криві четвертого І вищих порядків..............................
4.1 Конхоїда. 4. 2. Паскаля равлик. 4. 3. Циклоїдальні криві.
Епіциклоїди. Кардіоїда. Крива Штейнера. Астроїда. Овал Декарта. Овали Кассіні. Лемніската Бернуллі. Каппа. Криві Персея. Синусоїдальні спіралі «Троянди». Криві ковзання. Овали Мюнгера. Криві Ляме. Параболічні та гіперболічні криві
§ 5. Трансцендентні криві..................................................440
5. 1. Архімедова спіраль. 5. 2. Алгебраїчні спіралі. Гіперболічна спіраль.
Спіраль Галілея. Спіраль р-^г. Спіраль Ферма. Параболічна спіраль.
Спіраль «булава». Логарифмічна спіраль. 5. 3. Ланцюгова лінія. 5. 4. Трактриса. 5. 5. Квадратриса Дінострата. 5. 6. Кохлеоїда. 5. 7. Показникові криві.
5. 8. Циклоїда. 5. 9. Криві Штурма. 5. 10. Розгортка (евольвента) кола. 5. 11.
Погонна лінія. 5. 12. Криві Рібокура. 5. 13. Клотоїда. 5. 14. Радіальні криві
Р о З д і л 4. ГРАФІКИ СПЕЦІАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ ..............460
§ 1. Факторіал-функція п/. Числа та многочлени Бернуллі. Числа та многочлени Ейлера. Біноміальні коефіцієнти. Многочлени Похгаммера.........................................460
581
Факторіал-функція nt. Числа Бернуллі Вп. Многочлени Бернуллі Вп(х). Числа Ейлера Еп. Многочлени Ейлера Е(х). Біноміальні коефіцієнти С mY Многочлени Погхаммера (х)п
§ 2. Гамма-функція та споріднені з нею .............................471
2. 1. Гамма-функція Пх) . 2. 2. Бста-функція В (х,у) (або ейлерів інтеграл першого роду). 2. 3. Псі-функція (діаграмма-функція ір(х). 2. 4. Функція G (х). 2. 5. Неповні гамма-функції. 2. 6. Неповні бета-функції.
§ 3. • Інтегральна показникова функція та споріднені з нею . . . 478
Інтегральна показникова функція. Логарифмічна інтегральна функція
§ 4. Інтегральний синус та інтегральний косинус ....................481
Інтегральний синус. Інтегральний косинус. Допоміжний інтегральний синус та допоміжний інтегральний косинус. Інтегральний арктангенс
§ 5. Інтеграли Френеля ....................................... . . 485
Інтегральний синус Френеля. Інтегральний косинус Френеля. Узагальнені інтеграли Френеля. Допоміжні інтеграли Френеля
§ 6. Інтеграл ймовірностей та споріднені функції ....................
Інтеграл ймовірностей. Доповнювальна функція erfc(х) (функція помилок). Інтеграл Досона daw(x)
§ 7. Функції Бесселя ................................................
Функція Бесселя. Функція Неймана. Функції Бесселя 3-го роду (функції Ханкеля). Модифіковані функції Бесселя. Функція Ky(z). Функції Кельвіна.
Функції Бесселя дробового порядку. Модифіковані сферичні функції Бесселя першого роду. Функції Рікатті-Бесселя. Функції Ейрі. Допоміжні функції Ейрі. Функція^ Ангера і Вебера. Функції Струве. Модифіковані функції Струве. Хвильові функції Кулона
§ 8. Гіпергеометричні функції ........................................517
Гіпергеометрична функція. Вироджені (конфлюєнтні) гіпергеометричні функції. Функція Куммера М(а; с; z). Функція Трікомі U(a; с; z). Функції Віттекера. Функції параболоїди обертання. Функції параболічного циліндра Dv(z).
§ 9. Ортогональні многочлени .........................................527
9. 1. Загальні властивості ортогональних многочленів. 9. 2. Многочлени Якобі ^п^^ 9' 3- Функція Якобі другого роду Q^^fx). 9. 4. Многочлени Ге-генбауера (ультрасферичні) С^(х). 9. 5. Многочлени Лежандра (сферичні многочлени) Рп(х) . 9. 6. Многочлени Лагерра Ln(x). 9. 7. Многочлени Ерміта
Нп (х) (540). 9. 8. Многочлени Чебишева.
§ 10. Функції Лежандра ....................................547
§ 11. Еліптичні інтеграли та еліптичні функції ............552
§ 12. Функції Матьс .......................................561
§ 13. Дзета-числа та споріднені функції ...................564
§ 14. Функція Гурвіца......................................566
§ 15. Функція Хевісайда. Дельта-функція Дірака ............569
Список літератури .........................................572
Предметний покажчик .......................................573
582
