Математичні методи в хімії

Вступ ..... З

Розділ 1. Елементи MathCAD ..... 5
1.1. Головне вікно MathCAD ..... 5
1.2. Короткий огляд можливостей MathCAD ..... 7
1.2.1. Математичні обчислення ..... 7
1.2.2. Побудова графіків функцій ..... 9
1.2.3. Обчислення сум, інтегралів і матриць ..... 10
1.2.4. Чисельне розв’язання рівнянь і виконання операцій у символьній формі ..... 11
1.2.5. Процедури з використанням операторів програмування ... 12
1.3. Основні процедури системи MathCAD ..... 13
1.3.1. Робота з областями ..... 13
1.3.2. Визначення змінних і функцій ..... 15
1.3.3. Побудова та редагування математичних виразів ..... 16
1.3.4. Області визначення змінних. Визначення векторів і матриць ..... 18
1.3.5. Побудова графіків функцій ..... 21
1.3.6. Форматування тексту, математичних виразів, результатів і графіків ..... 25
1.3.7. Програмування на MathCAD ..... 27
1.3.8. Використання одиниць вимірювання ..... 29
1.4. Похибка при проведенні обчислень ..... 29
1.5. Одержання додаткової допомоги при роботі з MathCAD ..... 34
Завдання для самостійної роботи ..... 36
Література ..... 38

Розділ 2. Розв’язання лінійних і нелінійних рівнянь ..... 39
2.1. Методи розв’язання ..... 39
2.1.1. Графічний метод ..... 39
2.1.2. Аналітичний метод ..... 41
2.1.3. Чисельні методи ..... 41
2.2. Методи розв’язання лінійних і нелінійних рівнянь за допомогою MathCAD ..... 42
2.3. Розв’язання хімічних задач за допомогою лінійних і нелінійних рівнянь ..... 45
Завдання для самостійної роботи ..... 58
Література ..... 58

Розділ 3. Лінійна алгебра та її застосування ..... 59
3.1. Матриці. Дії з матрицями ..... 59
3.2. Визначник ..... 62
3.3. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь ..... 65
3.3.1. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь точними методами ..... 69
3.3.2. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методами ітерації ..... 74
3.3.3. Застосування оператора solve, функції Isolve та блоку операторів «Given–Find» ..... 80
3.3.4. Розв’язання загальної системи лінійних алгебраїчних рівнянь ..... 81
3.4. Застосування MathCAD для розв’язання хімічних задач за допомогою систем лінійних рівнянь ..... 86
Завдання для самостійної роботи ..... 95
Література ..... 96

Розділ 4. Задачі математичного аналізу. Диференціювання . . 97
4.1. Функція. Похідна функції ..... 97
4.2. Похідні вищих порядків ..... 98
4.3. Часткові похідні ..... 99
4.4. Границя функції ..... 100
4.5. Дослідження функції ..... 102
4.6. Застосування MathCAD для розв’язання хімічних задач методами диференціального числення ..... 104
Завдання для самостійної роботи ..... 108
Література ..... 109

Розділ 5. Інтегрування ..... 110
5.1. Невизначений інтеграл ..... 110
5.2. Визначений інтеграл ..... 112
5.3. Розв’язання хімічних задач із застосуванням інтегрального числення ..... 117
Завдання для самостійної роботи ..... 121
Література ..... 122

Розділ 6. Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь . . 123
6.1. Основні поняття ..... 123
6.2. Диференціальні рівняння першого порядку ..... 126
6.2.1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними . . . 126
6.2.2. Лінійні диференціальні рівняння ..... 130
6.2.3. Рівняння у повних диференціалах ..... 133
6.3. Диференціальні рівняння другого порядку ..... 134
6.3.1. Прості типи диференціальних рівнянь другого порядку, що інтегруються ..... 135
6.3.2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами ..... 137
6.3.3. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами ..... 139
6.4. Диференціальні рівняння порядку вище другого ..... 142
6.4.1. Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку ..... 142
6.4.2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами ..... 144
6.4.3. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами ..... 145
6.5. Системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами ..... 147
6.6. Наближені методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь ..... 150
6.6.1. Аналітичні наближені методи ..... 150
6.6.2. Чисельні методи ..... 153
6.7. Методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь за допомогою MathCAD ..... 155
6.8. Розв’язання хімічних задач інтегруванням диференціальних рівнянь ..... 165
Завдання для самостійної роботи ..... 171
Література ..... 173

Розділ 7. Диференціальні рівняння в частинних похідних. . . 175
7.1. Основні поняття ..... 175
7.2. Чисельні методи розв’язання ..... 178
7.3. Розв’язання диференціальних рівнянь у частинних похідних на MathCAD ..... 179
7.4. Розв’язання хімічних задач інтегруванням диференціальних рівнянь у частинних похідних ..... 182
Завдання для самостійної роботи ..... 185
Література. . ..... 187

Розділ 8. Ряди ..... 188
8.1. Основні поняття про ряди ..... 188
8.2. Ряди Тейлора, Маклорена та Фур’є ..... 192
8.3. Числові ряди на MathCAD ..... 194
8.4. Розв’язання хімічних задач за допомогою рядів ..... 198
Завдання для самостійної роботи ..... 199
Література ..... 200

Розділ 9. Теорія ймовірностей ..... 201
9.1. Основні поняття теорії ймовірностей ..... 201
9.1.1. Класифікація подій. Простір елементарних подій ..... 202
9.1.2. Операції над подіями ..... 203
9.2. Елемент комбінаторики ..... 204
9.3. Основні теореми теорії ймовірностей ..... 206
9.4. Основні закони розподілу випадкової величини ..... 210
9.5. Числові характеристики випадкових величин ..... 212
9.6. Деякі закони розподілу випадкових величин ..... 216
9.6.1. Біноміальний закон розподілу ..... 216
9.6.2. Розподіл Пуассона ..... 217
9.6.3. Геометричний закон розподілу ..... 218
9.6.4. Рівномірний закон розподілу ..... 219
9.6.5. Нормальний закон розподілу ..... 220
9.6.6. Розподіл %2 («хі» квадрат) ..... 222
9.6.7. t-Розподіл Стьюдента ..... 223
9.6.8. F-Розподіл Фішера–Снедекора ..... 224
Завдання для самостійної роботи ..... 225
Література ..... 226

Розділ 10. Елементи математичної статистики ..... 227
10.1. Статистичні характеристики ..... 227
10.1.1. Генеральна і вибіркова сукупності ..... 227
10.1.2. Точкові оцінки. Інтервал довіри ..... 229
10.2. Елементи кореляційного і регресивного аналізу ..... 231
10.2.1. Коефіцієнт кореляції ..... 232
10.2.2. Лінійна регресія. Оцінка коефіцієнтів регресії ..... 233
10.2.3. Коефіцієнт детермінації ..... 236
10.3. Статистичні обчислення на MathCAD ..... 237
10.3.1. Обробка вихідних даних ..... 237
10.3.2. Проведення кореляційного і регресивного аналізу ..... 240
10.3.3. Нелінійна регресія ..... 244
Завдання для самостійної роботи ..... 246
Література ..... 248