Стохастичні моделі

Передмова 1
1 Системи зi скiнченним числом станiв 5
1.1 Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Ймовiрнiсний прогноз . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Стани системи i граф переходiв . . . . . . . . 7
1.1.3 Скiнченнi i нескiнченнi множини станiв . . . 8
1.1.4 Причини стохастичностi в природi . . . . . . 9
1.2 Стохастичнi процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Процеси без пiслядiї . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Перехiднi ймовiрностi . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Диференцiальнi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Балансне рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Поведiнка розв’язкiв балансного рiвняння . 21
1.3.3 Асимптотична поведiнка розв’язкiв . . . . . 26
1.3.4 Зворотне балансне рiвняння . . . . . . . . . . 32
1.3.5 Баланснi рiвняння для системи зi стоком . . 33
1.3.6 Середнiй час життя системи зi стоком . . . . 38
1.4 Конкретнi системи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.1 Хiмiчнi реакцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.2 Поодинокий рецептор . . . . . . . . . . . . . . 50Змiст iii
1.4.3 Флуктуацiї в системi
N
рецепторiв . . . . . . 53
1.5 Застосування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5.1 Селективнiсть хеморецепторного нейрона . . 61
1.5.2 Селективнiсть порогового хiмiчного
сенсора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Системи зi злiченним числом станiв 77
2.1 Iнтегральний пуассонiвський лiчильник . . . . . . . 77
2.2 Iнформацiя iнтегрального лiчильника . . . . . . . . 81
2.3 Циклiчний пуассонiвський лiчильник . . . . . . . . 83
2.4 Iнформацiя циклiчного лiчильника . . . . . . . . . . 86
2.5 Циклiчний + iнтегральний лiчильник . . . . . . . . 87
2.6 Розподiл мiжiмпульсних iнтервалiв . . . . . . . . . 94
2.7 Iнформацiя лiчильника . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.8 Зв’язуючий нейрон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.8.1 Розподiл вихiдних iнтервалiв,
N
0
= 2
. . . . 98
2.8.2 Iнтенсивнiсть вихiдного потоку,
N
0
= 2
. . . 103
2.8.3 Iнтенсивнiсть вихiдного потоку,
N
0
= 3
. . . 111
3 Системи з неперервною множиною станiв 133
3.1 Частинка на iнтервалi . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2 Детермiнiстична динамiка . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.3 Випадкове блукання . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3.1 Блукання без дрейфу . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3.2 Блукання з дрейфом . . . . . . . . . . . . . . 142
Додаток A 145
A.1 Генерацiя випадкових чисел . . . . . . . . . . . . . . 145
A.1.1 Метод вiдбору . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.1.2 Метод вiдображення . . . . . . . . . . . . . . 150
A.2 Моделювання процесу Пуассона . . . . . . . . . . . . 152
A.2.1 Метод вiдображення . . . . . . . . . . . . . . 156Змiст iv
A.2.2 Метод сортування . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.3 Моделювання випадкових блукань . . . . . . . . . . 162
Додаток B 169
B.1 Асимптотика для iнтегрального лiчильника . . . . 169
B.2 Асимптотика для циклiчного лiчильника . . . . . . 175
B.3 Циклiчний+iнтегральний лiчильники . . . . . . . . 178
Додаток C 181
C.1 Допомiжна границя для нейрона з
N
0
= 2
. . . . . . 181
C.2 Допомiжнi функцiї для нейрона з
N
0
= 3
. . . . . . 183
Бiблiоґрафiя 187
Покажчик 190